Фамилия Кливанова — женская форма, а её основа, мужская Кливанов, образована от прозвища или нецерковного имени Клива́н. В русском языке суффикс -ан(-ян) часто служил для образования имён с оттенком ласкательности, принадлежности или просто как продуктивный словообразовательный элемент. Модель здесь типичная: основа Кливан- + притяжательный суффикс -ов (чей? — Кливанов).

Что означало само слово «клива́н»? В говорах, в частности северных и сибирских, так называли кривой, изогнутый нож или небольшой серп, а также человека с кривым, «кливым» (то есть косым) взглядом или с искривлённой осанкой. Корень «клив-» родствен глаголу «кривить», «криветь». Таким образом, прозвище Кливан мог получить либо мастер, делавший или использовавший такой инструмент (сапожник, бондарь, косарь), либо человек с заметной внешней особенностью — кривизной или прищуром.

Менее вероятно, но допустимо, что в основе лежит диалектное «клива́ть» — клевать (о птицах). Тогда прозвище могло относиться к человеку, который «клюёт» носом, засыпая, или к придирчивому, въедливому человеку. Однако связь с «кривым» семантически более устойчива и встречается в других фамилиях (Кривошеев, Кривобоков, Климов — от «климый», то есть кривой).

Географически фамилия встречается в основном в центральных и северных областях России, с заметным пятном в Вологодской и Архангельской губерниях — там, где «кливать» и «кливан» фиксируются диалектными словарями XIX века. Социально это крестьянская или ремесленная фамилия: в переписных книгах XVII–XVIII веков Кливановы встречаются среди посадских людей и государственных крестьян. Дворянских родов с этой фамилией не известно, что указывает на её однозначно простонародное происхождение.

Интересная деталь: в некоторых старых документах фамилию писали через «я» — Кляванов. Эта орфографическая вариация объясняется аканьем и местным произношением, но корень остаётся тем же — от «клявый», то есть кривой, плохой, негодный (в псковских и тверских говорах). То есть у фамилии есть не один, а два близких по смыслу диалектных источника, что только подтверждает её древнюю народную природу.