Фамилия Клижов — редкий случай, когда даже специалисту по русским фамилиям приходится гадать, а не цитировать словарь. В академических справочниках (Унбегаун, Никонов, Веселовский) эта фамилия не встречается. Это не значит, что она «неправильная» — просто её носителей исторически было немного, и она не попала в поле зрения составителей. Но это не мешает нам разобрать её по косточкам.

Словообразовательная модель типична для русского севера и центра: суффикс -ов указывает на принадлежность (чей? — Клижов). Основа — прозвище или некалендарное имя Клиж. Вот тут и начинаются версии.

Самая прямая: Клиж — это диалектный вариант слова «клиж» или «клыж». В русских говорах (особенно в псковских и новгородских) «клыж» означало «клык», «зуб», а также «зазубрина», «заусенец». Прозвище Клиж могли дать человеку с крупными или торчащими зубами, либо сварщику или кузнецу, который часто работал с зазубринами. Это объяснение идёт от реалий: прозвища по внешности или ремеслу — самый распространённый источник русских фамилий.

Вторая версия, более редкая: Клиж — это искажённое «клёж» или «клёжь». В некоторых говорах так называли «клёкот», «крик» (от слова «клекотать» — кричать по-птичьи). Тогда прозвище могло относиться к горластому, крикливому человеку. Но эта гипотеза слабее, потому что корень «клёж» почти не фиксируется в письменных источниках.

Третья, экзотическая: фамилия могла возникнуть от топонима Клижово или Клижи — названия небольшой деревни или хутора. Такие названия встречаются в Беларуси и на Смоленщине, где есть следы балтского или польского влияния. В польском языке есть слово «klisz» (отпечаток, клише), но для русской фамилии это маловероятно.

Географически фамилия Клижов тяготеет к северо-западу России: Псковская, Новгородская, Ленинградская области, а также к Смоленщине. Если ваши предки оттуда, версия с «клыжом» (зубом) наиболее правдоподобна.

Сословная принадлежность: судя по окончанию на -ов, фамилия крестьянская или мещанская, а не дворянская. Дворянские роды с таким окончанием обычно имеют более прозрачную этимологию (Кутузов, Годунов). Клижовы, скорее всего, происходили из свободных крестьян или посадских людей, которые получили прозвище по характерной черте.

Итог: если вы Клижов, ваши предки, вероятнее всего, были плотниками, кузнецами или просто людьми с заметными зубами, жившими на северо-западе России. Фамилия редкая, но не загадочная — просто её носителей мало, и она не попала в официальные списки.