Фамилия Клягина — женская форма, а её основа — мужское прозвище Кляга, от которого и пошёл род. В старину клягой называли небольшой бочонок, в котором возили воду или квас работающим в поле. Поэтому первое, что приходит на ум, — прозвище могло достаться полному, бочкообразному человеку. Такая версия лежит на поверхности и кажется самой очевидной.

Но есть и второй, более интересный вариант: прозвище могло быть профессиональным. Клягой называли не только ёмкость, но и, возможно, самого человека, который эту ёмкость носил или развозил. То есть предок Клягиных мог быть тем, кто подносил воду и квас работникам в страду. В крестьянском быту такая работа была нужной и заметной, а прозвище — цепким.

Фамилия образована по простой и распространённой модели: к основе Кляг- добавился суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — Клягин). Это типичный патроним, то есть «сын Кляги». Со временем фамилия закрепилась и перешла в женскую форму Клягина. В отличие от фамилий на -ов/-ев, суффикс -ин чаще встречался в северных и центральных регионах России, что даёт примерную географическую привязку.

В ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна) прозвища от названий предметов быта — обычное дело. Кляга в этом ряду стоит рядом с такими фамилиями, как Бочкарёв, Кадушкин или Дёжкин. Разница лишь в том, что «кляга» — слово более узкое, диалектное, а значит, фамилия могла возникнуть в конкретной местности, где это слово было в ходу.

Других версий — от личного имени или иноязычного корня — для этой фамилии нет. Всё упирается в старый добрый бочонок для воды.