Фамилия Клягин (в женском роде — Клягина) образована по древнейшей восточнославянской модели: к основе прозвища Кляга добавили притяжательный суффикс -ин, указывающий на принадлежность конкретному человеку. Буквально Клягин — «сын Кляги» или «человек из рода Кляги».

Исходное прозвище Кляга — слово с прозрачной, но не единственной этимологией. В старину клягой называли небольшой бочонок или кадку, в которой возили в поле воду или квас для работающих. Отсюда первая версия: Клягой в насмешку могли прозвать полного, круглого человека — по сходству фигуры с бочонком. Такие прозвища по внешности были в ходу повсеместно, и эта гипотеза выглядит правдоподобно.

Однако у прозвища есть и профессиональная подоплёка. Кляга — ещё и ёмкость для развозки питья, поэтому Клягой могли назвать того, кто подносил воду или квас работникам на пашне, либо бондаря, делавшего такие бочонки. В русских говорах слово «кляга» фиксируется именно в значении «бочонок для воды» (ср. данные словаря В. И. Даля), так что прозвище могло закрепиться за человеком по его ремеслу или обязанности.

Примечательно, что фамилия Клягин — не единственная в этом гнезде. В русских фамилиях встречаются однокоренные Клягин, Кляжкин, Клягичев — все они восходят к той же основе «кляг-» с разными суффиксами. Это говорит о том, что прозвище Кляга было достаточно употребительным и не привязано к одной местности.

Более редкая версия связывает Клягу с диалектным глаголом «клягать» — стучать, колотить. Тогда прозвище могло относиться к человеку с громким голосом или тяжёлой походкой. Но эта гипотеза менее обоснована: основное значение слова в словарях — именно «бочонок», а не действие.

Точное время возникновения фамилии Клягин не установлено, но суффикс -ин указывает, что она сформировалась не позднее XVII века, когда эта модель была особенно активна. Сословный состав носителей мог быть разным: от крестьян до посадских людей, поскольку прозвище не имело аристократического оттенка. Окончательно определить, где именно впервые появилась фамилия, можно только по писцовым книгам и ревизским сказкам конкретных уездов.