Фамилия Кольтюгина — женская форма мужской фамилии Кольтюгин, и её разговорная, почти просторечная основа сразу выдаёт бытовое прозвище. В центре здесь корень «кольтюг-», который явно восходит к слову «колтыга» или «колтыжка». В русских говорах так называли либо короткую, кривую ногу, либо хромого человека, либо — реже — неуклюжий, плохо скроенный предмет одежды. Таким образом, Кольтюгин — это «сын хромого» или «сын кривоногого», то есть фамилия, образованная от прозвища по физическому недостатку или походке.

Модель образования здесь редкая, но прозрачная: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — Кольтюгин). Сама основа «Кольтюг-» — это вариант слова «колтыг» с типичным для северных и сибирских говоров смягчением конечного согласного (ср. «Ванька» вместо «Ванка»). Интересно, что ударение в фамилии обычно падает на второй слог (Кольтю́гина), что соответствует живому произношению в тех регионах, где бытовало слово «колтыга» — прежде всего в Архангельской, Вологодской, Вятской губерниях и в Сибири, куда переселенцы принесли этот говор.

В ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова) фамилия Кольтюгин не приводится как типовой пример, но она вписывается в ряд таких же «физических» прозвищных фамилий, как Кривоногов, Безруков, Косолапов. Отличие Кольтюгина — в диалектной, локальной основе: это не общелитературное слово, а живое, деревенское прозвище, которое редко попадало в официальные документы, но закрепилось в крестьянской среде.

В современной России фамилия встречается нечасто, но имеет выраженную географию: по данным открытых источников, носители сосредоточены в Кировской области, Удмуртии и Пермском крае — как раз в зоне вятских и пермских говоров, где слово «колтыга» было в ходу. Встречаются варианты написания Кольтюгин/Кольтюгина, но они устойчивы и почти не путаются с похожими фамилиями вроде Колтыгин (от «колтыга» без смягчения) или Кольцов (совсем другой корень).

Так что Кольтюгина — фамилия, которая прямо говорит о предке: его, скорее всего, дразнили за хромоту или неловкую походку. Никакой сложной этимологии, никаких заимствований — чисто русское, бытовое прозвище, ставшее родовым именем.