Фамилия Кольтюгин — редкий пример, где основа, скорее всего, восходит не к имени или профессии, а к прозвищу, связанному с необычным звучанием или движением. Разбирать её стоит с суффиксальной модели: -ин указывает на принадлежность «сын такого-то» или «человек из семьи такого-то». Получается, что исходное прозвище звучало как Кольтюга.

Вероятнее всего, Кольтюга — это прозвище от глагола «кольтюхать» или «кольтюжить», который в некоторых русских говорах (особенно северных и вятских) означал «ковылять», «идти вразвалку», «переваливаться с боку на бок». Человека с такой походкой или неловкой, неуклюжей манерой двигаться могли прозвать Кольтюгой. Слово имеет звукоподражательный оттенок: оно передаёт не столько хромоту, сколько тяжёлую, медленную поступь.

Менее убедительная версия связывает фамилию с личным именем Кольтя (уменьшительное от Николая) через суффикс -юг- (как в фамилиях Бортюгин, Костюгин). Однако суффикс -юг- в русских прозвищах чаще придаёт уничижительный или увеличительный оттенок, а не уменьшительно-ласкательный. Поэтому прозвище Кольтюга от имени Кольтя звучало бы грубовато («большой Колька»), что маловероятно для бытового именования.

Географически фамилия Кольтюгин встречается в основном в центральных и северных областях России — в Костромской, Вологодской, Кировской областях. Это подтверждает связь с северными говорами, где глагол «кольтюхать» был в ходу. Встречаются варианты написания с одной «т» — Колтюгин, но это скорее описка или упрощение.

Социального статуса предков по фамилии не угадать: Кольтюгой могли назвать и крестьянина, и посадского человека — прозвище было чисто бытовым, без сословной привязки. В документах XVII–XVIII веков такие прозвища встречаются в писцовых книгах как неканонические имена, но конкретных записей о Кольтюгиных в открытых источниках мало — фамилия нечастая.

Итог простой: фамилия Кольтюгин — от прозвища, данного за походку. Предки, скорее всего, жили на севере или северо-востоке России, и их прозвали за манеру ходить вперевалку, «кольтюхать».