Фамилия Кончков образована от прозвища или нецерковного имени Кончко. В основе лежит слово «конец». На первый взгляд, связь очевидна: «конч» — вариант корня «конец», а суффикс -к- в древнерусских именах выполнял уменьшительную или обиходную функцию. Так Кончком могли назвать младшего сына, последнего ребёнка в семье (по аналогии с именем Меньшой или Послед). Но есть и другая, более прозаичная версия: прозвище давали человеку, жившему на краю села, на «конце» улицы или за околицей. В говорах «конец» означал окраину, и «кончкой» иногда называли границу поля или участка.

Менее вероятно, хотя и возможно, что Кончко — это производное от канонического имени Никон или Конон. В просторечии такие имена часто усекали: Никон → Никонко, Конон → Конко, а затем — Кончко. Однако для этой фамилии связь с «концом» выглядит убедительнее, поскольку топонимический след прослеживается в географических названиях: в России есть несколько деревень с корнем «Конч» — например, Кончково в Тверской области. Жители таких мест нередко получали фамилию по названию деревни, а не наоборот.

Суффикс -ов в фамилии Кончков указывает на принадлежность: «чей?» — Кончков, то есть сын или потомок Кончка. Модель типична для русского севера и центральных областей, где фамилии на -ов доминировали. В южных регионах или в Белоруссии та же основа могла бы дать фамилию Кончко без суффикса. Сравните с однокоренными Концов, Концев, Кончаков — все они восходят к тому же «концу», но с разными суффиксами и диалектными оттенками.

В исторических документах фамилия встречается с XVII века. В переписных книгах Московского уезда 1678 года упомянут крестьянин Ивашко Кончков. Судя по контексту, это была крестьянская или посадская среда — фамилия не дворянская, не книжная, а народная, возникшая в гуще бытовых прозвищ.