Фамилия Конкашев — редкий случай, когда основа почти наверняка тюркская, а оформление — русское, с помощью патронимического суффикса -ев. Если отбросить этот суффикс, получаем корень «Конкаш». В тюркских языках (казахском, башкирском, татарском, ногайском) слово «конкаш» или близкие к нему формы имеют два основных значения. Первое — «совет», «совещание», «сходка» (от глагола «кону» — останавливаться, располагаться на ночлег, отсюда же «конок» — гость). Второе, более конкретное — прозвище человека, который любил собирать людей, обсуждать дела, или же, наоборот, того, к кому часто приходили гости, у кого дом был открыт.

Словообразовательная модель типична для фамилий, возникших в среде крещёных татар, башкир или других тюркских народов Поволжья и Приуралья, а также для казахов, перешедших в русское подданство и получивших фамилии по отцу. Суффикс -ев (а не -ов) указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий: Конкаш — Конкашев. Фамилия могла быть образована не напрямую от прозвища, а от имени Конкаш, которое в прошлом бытовало как личное имя-пожелание (чтобы ребёнок вырос общительным, уважаемым, «советным» человеком).

Географически фамилия Конкашев тяготеет к Оренбургской, Челябинской областям, Башкортостану и западному Казахстану. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках она встречается редко, что говорит о её позднем закреплении — скорее всего, в середине — конце XIX века, когда у башкир и казахов начали массово фиксировать фамилии по отчеству. В отличие от более частых фамилий на -ов (Конкашов), вариант с -ев может указывать на местный говор или конкретную запись писаря.

Интересная деталь: в некоторых тюркских диалектах «конкаш» могло означать и «нарост», «шишку» — в этом случае прозвище давали по внешней примете. Но эта версия менее вероятна, так как прозвища по физическим недостаткам обычно давались в грубой прямой форме (например, «Кыр» — плешивый), а не через столь отвлечённое слово.

Таким образом, предок Конкашевых — человек по имени или прозвищу Конкаш, скорее всего, тюркского происхождения, живший в степной или лесостепной зоне, где ценились общительность и умение договариваться. Фамилия не имеет отношения к русским словам «конка» (вид транспорта) или «кошка» — это чисто ономастический «тюркизм» в русской оболочке.