Фамилия Конушкин образована по самой распространённой в русском языке модели: от прозвища или имени, оканчивающегося на согласный, с помощью суффикса -ин. Этот суффикс указывает на принадлежность: «чей?» — Конушкин, то есть сын, потомок или человек Конушки. Основа здесь — Конушка, и именно в ней кроется главный интерес.

Конушка — это не полное имя, а уменьшительная или пренебрежительная форма. Чаще всего её выводят от крестильного имени Конон (в русском быту звучало как Кон, Конон, Конан). В народной речи имя Конон дробилось на десятки производных: Коня, Конюха, Коняй, и в том числе Конушка. Суффикс -ушк- в этом случае придаёт ласкательный или уменьшительный оттенок. Если так, то Конушкин означает «потомок Конона», и фамилия входит в обширный ряд однокоренных: Кононов, Конов, Конушков, Коняев.

Однако есть и вторая, бытовая версия, которую не стоит отбрасывать. В северных и сибирских говорах словом «конушка» называли небольшой хлев или закуток для скота, а также тесное, неудобное помещение. Человек, живший в такой тесноте или работавший в конюшне, мог получить прозвище Конушка. Сравните с фамилиями Хлевушкин, Сарайкин — они образованы по тому же принципу от названий построек. В этом случае предок Конушкиных не был «сыном Конона», а получил фамилию по месту жительства или роду занятий: конюх, скотник, пастух.

Обе версии имеют право на существование, и выбрать одну без документальных записей сложно. В пользу «имени» говорит то, что суффикс -ушк- в прозвищах от названий построек встречается реже, чем в ласкательных формах имён. Но и «хлевная» версия не единична: в ономастике известны случаи, когда прозвища от бытовых реалий становились фамилиями именно через уменьшительную форму.

Географически фамилия Конушкин не привязана к одной области. Она встречается и в центральных регионах России, и в Поволжье, и на Урале — что как раз характерно для фамилий, образованных от распространённого имени Конон. Если ваши предки были из мест, где имя Конон было популярно (например, из старообрядческих сёл), то первая версия почти наверняка верна. Если же род происходит из северной деревни, где говорили «конушка» в значении «хлев», стоит проверить местные говоры и переписи.