Фамилия Косауров происходит от прозвища Косаур. Самое прямое объяснение — строительное: «косоур» — это наклонная балка, на которую кладут ступени лестницы. Если предок был плотником или мастером по лестницам, прозвище могло закрепиться за ним по ремеслу. Но это не единственная версия.

В Пензенской области есть посёлок Касауры. Название села и фамилия могут быть этимологически связаны — не исключено, что прозвище пошло от места жительства, а не от профессии. Чередование «о» и «а» в корне (Косаур — Касаур) объясняется влиянием окающих говоров: в разных регионах одно и то же слово звучало по-разному, и письменная форма фамилии могла закрепиться в любом из вариантов.

Есть и более сложная версия: прозвище могли сложить из двух частей — «косой» и имени «Юрий» (в народной форме Юр, Ур). Тогда Косаур — человек с дефектом зрения (косоглазие) по имени Юрий, или просто «кривой Юрка». Такие составные прозвища в старину были обычным делом, когда одного имени не хватало для точного указания на человека.

Имя в те времена часто выполняло не столько личную, сколько объединительную роль. В книге В. А. Никонова «Имя и общество» приводятся примеры: по переписи 1678 года в Балахне у одного отца три сына, и все трое — Иваны, различали их по возрасту: большой, средний, третий. В таких условиях прозвище становилось главным различительным знаком. Косаур — как раз такой случай: оно выделяло человека среди тёзок и со временем перешло в фамилию Косауров.

Так что у фамилии три возможных корня: плотницкое дело, пензенский топоним или составное прозвище по внешности. Какая из версий верна для вашей семьи, можно попробовать уточнить по местным архивным записям — география бытования фамилии часто даёт подсказку.