Фамилия Косовер — редкий случай, когда прозвище, указывающее на место рождения, сохранило в себе не просто корень, а целую географическую привязку. В её основе лежит топоним Косово или Коссов — несколько селений с таким названием есть в славянских землях. Суффикс -ер в русской модели фамилий встречается нечасто: он прямо говорит, что человека так прозвали по месту жительства, то есть «Косовер» — это «тот, кто из Косова». Такая словообразовательная конструкция типична скорее для западных регионов или для фамилий, возникших под влиянием немецкого или идиша, где суффикс -er выполняет ту же функцию.

Само слово Косово восходит к славянскому «кос» — так называли чёрного дрозда. Птица дала имя местности, а местность — прозвище, которое со временем закрепилось как фамилия. Ошибочно искать здесь связь с еврейскими фамилиями вроде Вейценбаум или Левенфиш: те строились по совершенно другой модели — из двух немецких корней, часто с метафорическим или абстрактным значением. Косовер же — прозрачная славянская фамилия, образованная от географического названия, и её носители могли быть выходцами из одного из сёл с таким именем, разбросанных по Беларуси, Польше или Украине.