Фамилия Котельникова образована от прозвища Котельник. В старину так называли мастера по паровым котлам — специалиста по их изготовлению и эксплуатации, а также ремесленника, делавшего медную посуду, самовары и другую утварь. Иными словами, основатель рода был человеком, чьё ремесло было связано с котлами.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: прозвище Котельник плюс патронимический суффикс -ов, который в женском роде даёт окончание -а. Фамилия Котельникова — это буквально «дочь или жена Котельника». В мужском варианте, соответственно, Котельников.

Фамилия относится к широкому пласту русских «профессиональных» фамилий, которые возникли, когда человека называли по его занятию. Если сравнить её с однокоренными — Котельников, Котельниченко, Котельницкий, — то видно, что суффикс -ник в основе прямо указывает на деятеля: человек, работающий с котлами. Такая модель встречается у множества ремесленных фамилий: Плотников, Мельников, Скорняков.

Географически фамилия Котельникова распространена по всей России, но чаще встречается в регионах, где исторически были развиты промыслы, связанные с металлообработкой и кузнечным делом. В ономастических словарях, например у Б. Унбегауна, фамилии на -ников обычно относят к числу древних, возникших ещё в допетровскую эпоху, когда ремесленные прозвища становились наследственными. Альтернативных версий происхождения практически нет — значение прозвища Котельник настолько конкретно, что споров о корне не возникает.