Фамилия Коцько звучит не по-русски, и это первая подсказка. Её выдают два признака: ударение на последнем слоге (Коцько́) и суффикс -ко. В русских фамилиях такое окончание встречается редко, а вот в украинских, белорусских и польских — сплошь и рядом. Коцько — яркий пример восточнославянской или западнославянской фамилии, которая образована от прозвища или имени с помощью уменьшительного суффикса -к(о).

Основа здесь — «Коць». Это могло быть сокращением от крестильного имени Константин (в украинской народной форме Кость) или от Корней. В диалектах слово «коць» имело и самостоятельное значение: так в некоторых говорах называли кота, особенно крупного или ленивого. Или же «коць» — это короткое, «домашнее» прозвище человека, которого в детстве ласково звали Котиком. Суффикс -ко добавляет значение «маленький, молодой» или «сын»: Коцько — буквально «маленький Коць» или «сын Коця». Такая модель типична для украинских фамилий на -ко (Шевченко, Коваленко, Ткаченко), где она указывала на потомка или молодого человека.

Географически фамилия Коцько чаще всего встречается на западе Украины, особенно в Тернопольской, Львовской и Ивано-Франковской областях. В Польше существует похожая фамилия Kocko, но с ударением на первый слог. В России Коцько — редкость, и почти всегда её носители имеют корни из Западной Украины или Беларуси. Иногда фамилию путают с более распространённой Кочко, но это разные вещи: Кочко обычно восходит к слову «кочка» (бугорок на болоте) или к тюркскому имени Кочкар.

Если отталкиваться от значения «кот», то предок носителя фамилии мог получить прозвище за внешность (мягкий, пушистый, с усами) или за характер (ласковый, хитрый, любящий поспать). Впрочем, не исключён и вариант, что «Коць» — это сокращение от Константин, и тогда фамилия просто означает «сын Константина». Оба объяснения правдоподобны, но первое — прозвищное — встречается в ономастике чаще, потому что фамилии на -ко от крестильных имён обычно выглядят как Константиненко, а не Коцько. Так что версия с прозвищем выглядит убедительнее.