Фамилия Коверняга — один из тех случаев, когда прозвище перешло в наследственное имя почти без изменений, сохранив свою разговорную, даже простоватую огласку. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые образованы от притяжательных прилагательных («чей сын?»), форма на -яга указывает на прямое прозвище человека. Суффикс -яг(а) в русском языке придаёт слову экспрессивную, часто пренебрежительную или фамильярную окраску (ср. «бедняга», «растяпа», «работяга»). Так что Коверняга — это не «сын Коверняги», а сам Коверняга, то есть человек, которого так окрестили за манеру поведения или внешность.

Основа фамилии — глагол «ковернять» или «коверкать». В русских говорах «ковернять» означало «гнуть, мять, ломать, портить, искажать». Прозвище Коверняга могли дать человеку неловкому, который всё ронял, мял и портил, либо, напротив, тому, кто говорил невнятно, «коверкал» слова. Вторая версия — профессиональная: Ковернягой могли называть мастера, который гнул, сгибал что-то, например, колёсный обод или полозья для саней. В этом случае прозвище перешло бы на потомков ремесленника без дополнительного суффикса, что для русской ономастики редкость, но не исключение.

Фамилия редкая и территориально привязанная. По данным современных телефонных справочников и архивов ЗАГС, основная масса носителей сосредоточена на юге России и в восточной Украине — в Ростовской области, Краснодарском крае, а также в Донецкой и Луганской областях. Это указывает на украинский или южнорусский диалектный источник прозвища. В украинском языке «коверняти» означает «коверкать, портить, мять» — смысл тот же, что и в русских говорах.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) фамилия Коверняга не упоминается — она относится к числу локальных, не попавших в общероссийские списки дворянства и купечества. Это, скорее всего, крестьянская или казачья фамилия, возникшая не раньше XVII века, когда прозвища начали закрепляться за родами. Сословной истории у неё нет: ни герба, ни известных дворянских ветвей.

Таким образом, если вы Коверняга, ваши предки — скорее всего, южнорусские крестьяне или казаки, а прозвище получил кто-то из них за неловкость, неразборчивую речь или за ремесло, связанное с гибкой и ковкой. Других версий, достойных серьёзного обсуждения, у этой фамилии нет.