Фамилия Куашова происходит от мужского личного имени Куаш. Чаще всего его связывают с марийским языком: слово «куаш» означает «мелкий, маленький». Таким именем родители могли называть самого младшего ребёнка в семье, что было распространённой практикой у многих народов — дать прозвище или имя по порядку рождения или размеру.

Менее вероятна версия о связи с тюркским мужским именем Кугуш, которое переводится как «лебедь». Эта гипотеза проигрывает марийской по двум причинам: во-первых, в марийском есть прямое лексическое соответствие, а во-вторых, тюркское имя дало бы на русской почве форму «Кугушев» или «Кугашов», а не «Куашов». Звуковой переход от «Кугуш» к «Куаш» требует дополнительных допущений, поэтому марийская версия выглядит убедительнее.

Фамилия Куашова — женская форма от Куашов. В русской традиции фамилии на -ов/-ев образуются от имён, прозвищ или профессий отца: Куаш → сын Куаша → Куашов. Суффикс -ов указывает на принадлежность, то есть буквально фамилия значит «из семьи Куаша».

В исторических документах встречается родственная фамилия Куашев. В Книге памяти Кабардино-Балкарской Республики упомянут мулла Куашев Али Пагович, родившийся в 1867 году. Это показывает, что фамилия бытовала не только в марийской среде, но и на Кавказе, что может указывать на разные очаги её возникновения — независимо друг от друга у разных народов. Для марийцев имя Куаш было мотивировано родным языком, для кавказских народов возможна иная, пока не прояснённая основа.

Таким образом, фамилия Куашова хранит память о прозвище или имени предка, который, скорее всего, был младшим в семье у марийцев, и со временем закрепилась в роду по стандартной русской модели фамильного суффикса.