Фамилия Кулинковская — одна из тех, что сразу указывает на географию предков. Суффикс -ск- типичен для фамилий, образованных от названий населённых пунктов: владелец или уроженец места с корнем «Кулинк-» получал прозвание Кулинковский, а его потомки закрепили форму в женском роде. Такие фамилии чаще всего носили дворяне, шляхта или духовенство — сословия, где была важна привязка к земле или приходу. Однако в XIX веке суффикс -ский распространился и среди крестьян, особенно в западных губерниях Российской империи.

Основа «Кулинк-» скорее всего восходит к топониму: на картах Беларуси, Украины и Польши встречаются деревни Кулинка, Кулинково или Кулинки. Название этих сёл, в свою очередь, выводят от прозвища Кулинка — уменьшительной формы от Куля (Кузьма) или от диалектного «куля» (мешок, узел). В польской ономастике фамилия Kulinkowski фиксируется с XVI века, что подтверждает её шляхетское происхождение в Речи Посполитой. В таком случае предки Кулинковской могли быть мелкопоместной шляхтой, владевшей хутором или застенком с похожим названием.

Менее вероятная, но допустимая версия — прозвищное происхождение от слова «кулинка» (вид рыбы или птицы в местных говорах). Тогда фамилию могли дать рыбаку или охотнику, но модель на -ский для таких прозвищ нетипична: скорее получилась бы Кулинкин или Кулинков. Поэтому топонимическая гипотеза остаётся основной.

В российских архивах фамилия встречается редко, сосредоточена в западных регионах — Смоленской, Витебской, Могилёвской губерниях, а также среди потомков польской шляхты, переселившихся в Сибирь после восстаний XIX века. Написание с окончанием -ая (а не -а) — стандартная русификация польской формы Kulinkowska. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из небольшого имения или деревни на территории современной Беларуси или восточной Польши.