Фамилия Кулинкина — женская форма фамилии Кулинкин, и её разбор стоит начать с суффикса, который сразу выдаёт способ образования. Суффикс -ин указывает на притяжательную модель: в русской традиции так образовывали фамилии от имён и прозвищ, оканчивающихся на -а или -я. То есть Кулинкин буквально значит «чей?» — сын или потомок Кулинки. Сама основа Кулинка — это уменьшительная форма от личного имени или прозвища.

Кулинка могло быть производным от канонического имени Акулина (народная форма — Акулинья, где «Кулинья» дала «Куля» и «Кулинка»). Акулина — женская форма латинского имени Aquilinus, что значит «орлиный» или «орлица». В крестьянской среде имя Акулина было очень распространено, и от него образовалось множество фамилий: Акулинин, Акулов, Кулин, Куликов и, конечно, Кулинкин. Другая версия выводит Кулинку из прозвища от диалектного слова «куля» — мешок, куль; в таком случае Кулинка — это человек, носивший прозвище Куля или Кулинка, возможно, за мешковатую одежду или за привычку носить что-то в кулях. Третья, менее вероятная версия — от названия птицы кулик, но для этого основа должна была бы звучать как Куликин, с суффиксом -ин от основы на -ик.

География фамилии Кулинкин (а значит, и Кулинкина) сосредоточена в центральной России и Поволжье. По данным переписей и архивов, Кулинкины встречаются в Нижегородской, Костромской, Владимирской областях и в Мордовии. Это характерно для фамилий, образованных от народных форм имён: здесь почти нет дворянских корней, фамилия типично крестьянская или мещанская.

Интересная деталь — чередование в написании. В старых метрических книгах можно встретить вариант «Кулинькин» (от Кулинька), что подтверждает связь с именем Акулина. Если ваш предок записан как Кулинькин, это прямое указание на женское имя в основе, а не на прозвище от куля или кулика. Так что для носительницы фамилии Кулинкина наиболее правдоподобная версия — происхождение от имени Акулина, через уменьшительную форму Кулинка, которую дали либо самому предку, либо его матери.