Фамилия Кулыжская — редкая и территориально привязанная. Её основа — топоним, а не прозвище или имя. Это так называемая «географическая» фамилия, образованная по модели «название места + суффикс -ск- + окончание -ая». В русской ономастике такие фамилии обычно указывают на происхождение человека из конкретного населённого пункта: Кулыжки, Кулыжск или Кулыжское. Поиск таких названий ведёт в западные регионы России, прежде всего в Смоленскую и Брянскую области, где встречаются деревни с корнем «кулыж-». Например, известна деревня Кулыжская в Шумячском районе Смоленской области. Само слово «кулыж» в местных говорах могло означать «глухой лес», «бурелом» или «труднопроходимое место» — от диалектного «кулыга» (поляна в лесу, расчищенная под пашню). Таким образом, предок носителя фамилии, скорее всего, был выходцем из такой лесной деревни или владел землёй на расчищенном участке. Обратите внимание на суффикс «-ская»: он характерен для дворянских и шляхетских фамилий (в отличие от крестьянских на «-ов»), но в данном случае, учитывая скромное происхождение топонима, фамилия могла принадлежать однодворцам или государственным крестьянам, которые получали фамилии по месту жительства при переписях XVIII–XIX веков. Других версий — от личного имени или профессии — для этой фамилии нет: корень явно указывает на местность, а не на человека.