Фамилия Кутякова — женская форма от Кутяков, а та, в свою очередь, восходит к прозвищу или нецерковному имени Кутяк. Вопрос в том, что легло в основу: прозвище или имя. Судя по всему, здесь два равноправных корня, и оба стоит разобрать.

Первый вариант — от слова «кут», то есть «угол». В старину «кутом» называли не просто угол в избе, а место за печью или отгороженную часть помещения. Кутяком могли прозвать того, кто постоянно сидел или спал в углу — отсюда пошло бытовое, чисто описательное прозвище. В некоторых говорах «кутяка» означало домоседа, человека, который редко выходил из дому.

Второй вариант куда интереснее и связан с поминальной кутьёй. Кутья — обрядовая каша из пшеницы, риса или ячменя, которую подавали на поминках и в рождественский сочельник. На юге России кутьёй называли и сами сочельники — кануны Рождества, Крещения и Нового года. Если ребёнок родился в один из этих дней, его могли наречь Кутяком — не в честь каши, а в честь праздника. Такие «календарные» мирские имена были в ходу у крестьян до повсеместного внедрения церковных святцев.

Суффикс «-як» в основе Кутяк типичен для прозвищ и имён, образованных от существительных: он придаёт оттенок принадлежности или характерности (сравните: добряк, толстяк). Фамилия Кутяков строится по стандартной патронимической модели: Кутяк → Кутяков, то есть «сын Кутяка». В документах фамилия встречается преимущественно в Поволжье и центральных областях России, что согласуется с ареалом употребления слова «кут» и традицией поминальной кутьи.

Какая из двух версий правдоподобнее? Обе рабочие, но «кутья» даёт более конкретную привязку к народному календарю и обряду, а «кут» — к бытовой характеристике. В любом случае, фамилия Кутякова — не случайный набор звуков, а прямой след того, как в крестьянской среде давали имена по приметам, праздникам и месту в доме.