Фамилия Кузив — не самостоятельная единица, а фонетический вариант фамилии Кузев. Чередование гласных е/и в корне возникло под влиянием так называемых «икающих» говоров, где в безударном положении звук [е] произносится как [и]. Поэтому фамилия Кузив — это не ошибка в записи, а живая диалектная черта, закреплённая в документах.

По происхождению фамилия восходит к ласкательному имени Кузя. В народном обиходе так называли мальчиков и мужчин с полным именем Косма — русифицированной формой греческого имени, которое в православной традиции закрепилось как Кузьма. Имя Кузьма (от греч. kosmos — «мир», «порядок», «украшение») было одним из самых распространённых в крестьянской среде, а его уменьшительная форма Кузя дала жизнь целому гнезду фамилий: Кузин, Кузев, Кузиков, Кузьмин и, конечно, Кузив.

Модель образования фамилии — патронимическая: суффикс -ив (фонетический вариант суффикса -ев) указывает на принадлежность, то есть «сын Кузи». Такое окончание характерно для украинской и южнорусской традиции, где фамилии на -ив встречаются чаще, чем на севере. Так что предок носителя фамилии Кузив — человек, которого в быту звали Кузей, а его потомки закрепили это прозвище как родовое имя.

С точки зрения сословной принадлежности фамилия Кузив — типично крестьянская. Никаких данных о дворянском происхождении или принадлежности к духовенству нет. В метрических книгах и ревизских сказках XIX века носители фамилии Кузив встречаются преимущественно среди государственных и помещичьих крестьян западных и южных губерний Российской империи, где были сильны «икающие» говоры.

Таким образом, если вы носите фамилию Кузив, ваши предки — скорее всего, крестьяне из регионов с акающими или икающими диалектами (современные Украина, Белгородская, Курская, Воронежская области), а основателем рода был человек по имени Кузя — уменьшительное от Кузьмы.