Фамилия Квашура — случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив исходный суффикс -ур(а). Это характерно для украинской, польской и южнорусской традиции: прозвища на -ура, -юра (например, Мишура, Хмара) часто становились фамилиями без дополнительных родовых суффиксов -ов или -ин. В основе лежит слово «кваша» — закваска для теста, кислое тесто или, в переносном смысле, вялый, медлительный человек.

Основная версия происхождения — прозвище Квашура могли дать либо пекарю или пивовару (человеку, постоянно работавшему с закваской), либо флегматичному, «квашнеподобному» человеку. В украинских говорах слово «кваша» также имело значение «каша», «кислое молоко», что расширяет круг ремёсел — возможно, это прозвище молочника или кулинара. Менее вероятна, но возможна связь с диалектным глаголом «кваситься» — скучать, киснуть.

Географически фамилия тяготеет к западноукраинским и белорусским землям, встречается среди казацких родов Запорожья. В реестрах Войска Запорожского XVI–XVII веков фиксируются прозвища с корнем «Кваш-» (Кваша, Квашенко), а форма Квашура могла возникнуть на территории современной Галиции или Волыни, где суффикс -ура был продуктивным.

Фамилия Квашура — редкая, не попала в дворянские родословные книги и не имеет аристократических версий. Её носители, скорее всего, происходили из крестьян, ремесленников или казаков. Примечательно, что в русской традиции фамилия почти не склоняется как «Квашура» в мужском роде, что выдает её украинское происхождение — в украинском языке она склоняется по правилам существительных женского рода, хотя принадлежит мужчине.