Фамилия Кычиков — редкая и неочевидная. Её звучание сразу отсылает к говорам, где «ы» после «к» — не опечатка, а диалектная норма. Чтобы понять корень, нужно отбросить суффикс -ов (или -ев? — об этом ниже) и посмотреть на основу «Кычик».

Вероятнее всего, Кычик — это прозвище или уменьшительная форма от слова «кыч». В северных и уральских говорах «кыч» или «кыка» означало «кичка» — старинный женский головной убор. Так могли прозвать человека, который их носил, делал или продавал. Но есть и другая, более бытовая версия: «кыч» в некоторых диалектах — это «кочка», «бугор» или «неровность». Прозвище Кычик мог получить человек приземистый, плотный или с какой-то особенностью фигуры.

Суффикс -ик в основе (Кычик) указывает на уменьшительно-ласкательную или пренебрежительную форму. Это характерно для прозвищ, которые потом стали фамилиями: Кычик — «маленький кыч» или «сын Кыча». А вот окончание фамилии — -ов, а не -ин, хотя основа оканчивается на согласный. Это ломает стандартную модель (обычно от слов на -ик образуются фамилии на -ин: Кычкин). Здесь мы видим более позднюю или просторечную модель, где фамилию «выровняли» под частотный суффикс -ов. Встречаются варианты Кычков, Кычкин, но Кычиков — самый редкий и архаичный по звучанию.

География фамилии неширокая. Основные следы — в Кировской области и в Пермском крае, то есть на территории бывшей Вятской губернии. Вятка — зона активного бытования диалектных слов с «ы» вместо «и» (например, «кыслый» вместо «кислый»). Там же была распространена кичка как часть народного костюма. Так что версия с головным убором получает региональное подтверждение.

Никакого отношения к тюркским языкам фамилия, скорее всего, не имеет, хотя похожа на них фонетически. Чисто русская, диалектная, и этим интересна.