Фамилия Лагацкий — редкая, и её происхождение неочевидно. В ней сразу бросается в глаза суффикс -цк-, типичный для польской и западнорусской модели образования фамилий (как Завадский, Островский). В русской традиции такие фамилии чаще всего принадлежали шляхте или духовенству, но в случае с Лагацким всё сложнее: основа «Лаг-» не даёт однозначной привязки к известному топониму или роду занятий.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с польским или украинским словом łagodny (ласковый, кроткий). В диалектах существовала форма «лага» или «лаго» — как прозвище спокойного, уживчивого человека. От него через прибавление суффикса -цк- образовалась фамилия, указывающая на происхождение от такого человека: «сын Лаги» или «из рода Лаги». Суффикс -цк- здесь мог выполнять роль притяжательного, а не топонимического показателя, что встречается в восточнославянских фамилиях реже, но не исключено.

Вторая, менее вероятная гипотеза — топонимическая. На карте Польши и Беларуси встречаются мелкие поселения с корнем «Лаг-» (например, Лаги, Лагов). В таком случае Лагацкий — это «тот, кто из Лагов». Однако широко известных населённых пунктов с таким названием нет, что делает эту версию слабой. Если бы фамилия была распространённой, мы бы знали о селе Лаги или Лага, но в ономастических справочниках подобный топоним не фиксируется как значимый.

Не стоит путать Лагацкого с фамилией Лаговский (от реки Лага или города Лагов) — это разные словообразовательные модели. Лагацкий, с суффиксальным элементом -цк-, скорее указывает на прозвище, чем на географию. В польской традиции фамилии на -цкий часто давались по названию имения, но для этого нужно уверенное знание конкретного поместья, которого у нас нет.

С социальной точки зрения, если фамилия действительно польского происхождения, её носители могли относиться к мелкой шляхте или к крестьянам, получившим фамилию от помещика. В XIX веке на территории Украины и Беларуси такие фамилии нередко фиксировались у православных и униатов, что говорит о смешанном этническом фоне. Редкость Лагацкого сегодня (единичные носители в России, Украине, Польше) подтверждает, что род был немногочисленным или фамилия возникла локально, в одном-двух сёлах.

Итог: Лагацкий — скорее всего, прозвищная фамилия от «лаги» (кроткий человек) с польским суффиксом, либо редкий топонимический вариант. Точных данных о сословии или конкретных исторических личностях нет, но модель образования указывает на западные земли бывшей Речи Посполитой.