Фамилия Лаверкова — женская форма фамилии Лаверков, и её разбор стоит начать с неочевидного: суффикс -ов здесь нестандартный. В русских фамилиях он обычно присоединяется к основе, оканчивающейся на согласный (Петр — Петров), но Лаверков явно образован от имени или прозвища Лаверко. А это значит, что мы имеем дело с украинской или белорусской моделью, где уменьшительно-ласкательный суффикс -ко (как в Иванько, Федько) дал основу, а уже потом к ней добавили великорусский патронимический суффикс -ов. Такая гибридная форма встречается у фамилий, которые «обрусели» на территории бывшей Малороссии или Слобожанщины.

Корень Лавер- — самый спорный момент. Самая прямая версия: от канонического имени Лаврентий через народные формы Лавер, Лаверко. Лаврентий (от лат. Laurentius — «лаврентский», то есть житель города Лаврент) в просторечии давал множество сокращений: Лавря, Лавра, Лавер. Если так, то предок носителя фамилии — сын человека по имени Лавер (Лаверко), то есть прямой потомок Лаврентия.

Менее вероятная, но возможная версия — от прозвища, связанного с диалектным словом «лавер». В некоторых южнорусских и украинских говорах так могли называть льстеца, угодника или, наоборот, ловкого, изворотливого человека (ср. «лавировать»). Однако эта версия слабее: слово «лавер» в значении «льстец» фиксируется редко и в основном в западных диалектах, а фамилия Лаверков распространена скорее в центральных и восточных регионах России.

Географически фамилия Лаверкова редкая. Встречается в основном в Воронежской, Ростовской областях и в Краснодарском крае — то есть в зоне, где исторически смешивались русское и украинское население. Это косвенно подтверждает версию об украинской основе с русским окончанием.

Таким образом, Лаверкова — это «внучка» или «дочь Лаверка», а сам Лаверко — скорее всего, уменьшительная форма от Лаврентий. Фамилия недворянская, крестьянская или мещанская, и её носители, вероятно, происходят из южнорусских или малороссийских крестьян, чьи имена в XVIII–XIX веках адаптировались под общероссийские патронимические стандарты.