Фамилия Лавей — редкая, и её происхождение неочевидно. Скорее всего, она не исконно русская, а имеет иноязычные корни, при этом в русской среде могла быть переосмыслена под влиянием местных говоров.

Первая и наиболее вероятная версия — французское происхождение. Во французском языке есть фамилия Lavay или Lavé, которая восходит к старофранцузскому слову «lavé» — «вымытый», «омытый». В Средние века такое прозвище мог получить человек, живший у брода или переправы, либо занимавшийся стиркой белья (прачка или прачечник). В России фамилия Лавей могла появиться в XIX веке среди обрусевших французов, гувернёров, учителей или мастеровых, приглашённых в дворянские усадьбы. Суффикс -ей в русской записи передаёт французское окончание -é, что типично для адаптации галлицизмов (ср. Фурье, Барбье).

Вторая версия — топонимическая. В Бельгии и на севере Франции существует коммуна Лавей (Lavay), а также несколько деревень с похожими названиями. Фамилию мог получить выходец из такого места. В этом случае она указывает на географическое происхождение предка, что характерно для европейских фамилий-топонимов.

Третья, менее вероятная гипотеза — славянская. В некоторых русских диалектах встречается слово «лавей» или «лавейка» — так могли называть ленивого, медлительного человека или, наоборот, того, кто «лавирует», уклоняется от работы. Однако эта версия слабая: ни в словаре Даля, ни в ономастических справочниках такое прозвище не зафиксировано. Скорее всего, это народное переосмысление уже готовой иноязычной фамилии.

Особенность фамилии Лавей — её нестандартная для русской ономастики форма. В ней нет типичных суффиксов (-ов, -ин, -ский), она не склоняется по падежам как типичная русская фамилия (Лавей, Лавею, о Лавее). Это сразу указывает на позднее (не ранее XVIII века) заимствование. Если ваши предки носили Лавей, стоит искать их в дворянских или купеческих родословных, связанных с иностранными специалистами, либо в списках переселенцев из Западной Европы.