Фамилия Лаврий — редкий случай, когда корень почти прозрачен, а вот суффикс ставит в тупик. Основа здесь — «Лавр», от мужского имени Лавр (греч. laurus — «лавр», символ победы и славы). С этим именем связаны десятки фамилий: Лавров, Лаврентьев, Лавриков, Лаврищев. Но Лаврий стоит особняком.

Обычно фамилии на -ий в русском языке указывают на притяжательность или принадлежность: «чей?» — «Лаврий», то есть «сын Лавра». Это старая модель, родственная украинским фамилиям на -ий (Шевченко, но есть и Ковалий, Палий) или польским на -i. Однако в русской традиции фамилии на -ий без суффикса -ов/-ин — штука нехарактерная. Чаще так оформляли прозвища или названия по профессии (Рыжий, Глухой), а не отчества. Поэтому Лаврий могло возникнуть не как отчество, а как прозвище: Лаврий — человек, связанный с лавром, возможно, торговец лавровым листом, аптекарь или тот, кто носил лавровый венок, — шуточное или почетное прозвище.

Есть и вторая версия, более прозаичная. Фамилия могла появиться из диалектного варианта имени Лаврентий. В народе Лаврентия нередко звали Лаврей, Лавруха, а в некоторых говорах — Лаврий. Тогда суффикс -ий — это не грамматический показатель, а часть имени, и фамилия означает просто «потомок Лаврия» (то есть Лаврентия). Такое упрощение встречается: ср. фамилии Гурий (от Гурий) или Сидорий (от Сидор).

Географически фамилия редкая и не имеет одного выраженного гнезда. Встречается на западе России, в Беларуси и на Украине — то есть в зоне влияния польской и украинской ономастики, где модель на -ий более привычна. Если предки были крестьянами или мещанами из западных губерний, фамилия могла закрепиться именно в таком виде.

Итог: Лаврий — либо отчество от имени Лавр, оформленное по редкой модели (как «сын Лавра» без типового суффикса), либо прозвище, связанное с лавром, либо производное от Лаврентия. Точнее сказать сложно — слишком мало носителей, чтобы проследить единую линию. Но ясно одно: в основе лежит имя, восходящее к лавровому венку, и носитель фамилии может считать её «победной» по корню, хотя бытовое происхождение, скорее всего, было куда скромнее.