Фамилия Ледягина — женская форма фамилии Ледягин, а та, в свою очередь, принадлежит к распространённому типу русских фамилий на -ин. Если кратко: предок носителя этой фамилии, скорее всего, носил прозвище Ледяга, и фамилия просто отвечает на вопрос «чей?» — то есть сын или дочь Ледяги.

Ключ к пониманию — в основе «ледяг-». Самое прямое объяснение: прозвище дали человеку с «холодным» характером — неприступному, суровому или молчаливому. В русских говорах слово «ледяга» могло означать нечто ледяное, холодное, но в переносном смысле так называли человека, от которого «веет холодом». Это логичная и частая модель: по внешнему признаку или черте характера (ср. фамилии Холодов, Студенец).

Есть и вторая, менее очевидная, но правдоподобная версия, связанная с диалектной лексикой. В некоторых регионах (например, в северных и сибирских говорах) «ледягой» называли не только кусок льда, но и особую ловушку для рыбы подо льдом, а также зимнюю дорогу или даже замерзшую грязь. В этом случае прозвище мог получить рыбак, зимний возчик или человек, живший на болотистой, промерзающей земле. Такая профессионально-бытовая версия не менее весома, чем прозвище по характеру.

Словообразовательный суффикс -ин указывает на то, что фамилия сформировалась в северных и центральных регионах Руси, где была распространена именно эта модель (в отличие от южнорусских фамилий на -ов). Географически фамилия Ледягина (и Ледягин) встречается не повсеместно, а скорее локально — в Поволжье и некоторых областях Центральной России. Это говорит о том, что прозвище не было общенациональным, а бытовало в определённых говорах.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Леденцов, Ледов, Ледянкин) показывает, что все они образованы от одного корня, но с разными суффиксами. Ледягин — один из самых редких вариантов, что делает его особенно интересным для локальной истории. Версия о происхождении от прозвища по характеру (холодный человек) выглядит чуть более вероятной, чем от названия рыболовной снасти, просто потому что в основе фамилий чаще лежат личные качества, чем узкопрофессиональные термины.