Фамилия Ладягина — женская форма фамилии Ладягин. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать мужской вариант, который, скорее всего, образован от прозвища или мирского имени Ладяга. Основа здесь — «лад», что в древнерусском языке означало «согласие, порядок, мир, лад». В северных и центральных говорах «ладить» значило «налаживать, делать, мастерить, мирить». Соответственно, Ладягой могли прозвать человека, который умел ладить с людьми, был покладистым, либо, наоборот, хорошего мастера, «ладного» работника.

Суффикс -яг(а) в русской ономастике — не самый частый, но выразительный. Он придаёт слову оттенок просторечия и принадлежности к бытовой, деревенской среде. Сравните: бедняга, работяга, миляга. То есть Ладяга — это не официальное имя, а обиходное прозвище, которое закрепилось за человеком по его характеру или умению. В некоторых говорах «ладяга» могло означать и «певунья» (от слова «ладить» в значении «петь складно»), но эта версия менее распространена и касается скорее женского прозвища.

Фамилия Ладягин (а значит, и Ладягина) относится к патронимическому типу на -ин, то есть указывает на принадлежность к роду Ладяги. По сути, это ответ на вопрос «чей сын?» или «чья дочь?» — сын или дочь Ладяги. В сословном плане такие фамилии на -ин чаще всего встречались у крестьян и мещан центральной России, особенно в Ярославской, Костромской, Вологодской губерниях, где были сильны традиции прозвищ по личным качествам.

Вторую, менее вероятную версию связывают с гидронимом — названием реки Ладяга (такие есть в бассейне Волги). В этом случае фамилия могла возникнуть у переселенцев, которые жили на берегу этой реки и получили прозвище по месту жительства: «ладягин» — с реки Ладяги. Но для фамилии Ладягина, если её носительницы не родом с конкретного села у такой реки, более логичным остаётся объяснение через личное прозвище.

Спорных моментов здесь немного: основа прозрачна, суффикс типичен для русских фамилий. Фамилия не редкая, но и не массовая — встречается в основном в центральных и северных областях России. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были людьми мастеровыми или мирными, «ладными» — теми, с кем было легко ужиться.