Фамилия Лемтюгина — женская форма фамилии Лемтюгин, и её разбор стоит начать с суффикса. Суффикс -ин указывает на принадлежность: в русской традиции такие фамилии образовывали от имён, прозвищ или профессий, оканчивающихся на -а/-я (ср. Пушкин — от Пушка, Репин — от Репа). Основа «Лемтюг» — ключ к происхождению.

Самый вероятный источник — прозвище Лемтюг. В северных и сибирских говорах «лемтюг» (или «лемтяг») — это неуклюжий, нерасторопный или вялый человек. Слово имеет финно-угорские корни: в коми «лёмтöг» значит «неповоротливый», а в карельском «löntty» — «медлительный». Такое прозвище мог получить человек с флегматичным характером или, напротив, его давали иронично — бойкому, чтобы сбить спесь.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с диалектным «лемех» (плуг, сошник). В этом случае Лемтюг — искажённое прозвище пахаря или кузнеца, делавшего лемехи. Однако фонетические расхождения (мех → мтюг) делают эту гипотезу слабой: переход «х» в «т» нетипичен для русских говоров, а в финно-угорской версии слово звучит естественно.

Географически фамилия Лемтюгин тяготеет к северо-востоку европейской России: встречается в Вологодской, Архангельской областях, а также в Кировской и Пермском крае. Это зона активных контактов русского населения с коми и карелами, где прозвища из местных языков переходили в русские фамилии. Встречается фамилия и в Сибири, куда её занесли переселенцы в XIX–XX веках.

Словообразовательно фамилия проста: прозвище Лемтюг → Лемтюгин (чей сын? — Лемтюгин). Ударение, судя по известным носителям, падает на второй слог — Лемтю́гина. Вариант с ударением на первый слог (Ле́мтюгина) возможен в отдельных говорах, но редок.

Однокоренных фамилий в русском языке мало: можно вспомнить Лемтюгов (с суффиксом -ов, от той же основы, но с другим окончанием прозвища) и Лемтяков (от формы «лемтяк»). Все они — локальные, нечастые, что подтверждает их происхождение из диалектной среды.

Социальный контекст: фамилия Лемтюгин — не дворянская, не купеческая. Её носители в прошлом — крестьяне или ремесленники Русского Севера. В ревизских сказках и метрических книгах XIX века Лемтюгины числятся среди государственных крестьян Вологодской губернии, реже — среди мещан.

Итог: фамилия Лемтюгина — память о прозвище, данном в северной деревне. Её основа — слово из коми или карельского, означавшее медлительность. В отличие от многих русских фамилий, здесь нет связи с церковным именем или профессией — только меткая бытовая характеристика, закреплённая в роду.