Фамилия Левунець звучит не по-русски, и это первая зацепка. Суффикс -ець указывает на украинское или белорусское происхождение. В русском языке аналогом была бы фамилия Левунов, а здесь мы видим типичную для западных и южных земель модель: основа + -ець. Такие фамилии часто давали по месту жительства (например, кто-то из села Левуни) или по прозвищу, но в случае с Левунець вероятнее всего перед нами патроним — фамилия по отцу.

Корень здесь — Лев. Это не только имя хищного зверя, но и сокращённая форма от крестильного имени Лев (греч. Leon — «лев»). В православных святцах это имя встречается, хотя и не было самым частым. Однако украинская народная традиция любила уменьшительные формы: Левко, Левун, Левусь. От формы Левун и возникла фамилия Левунець. Буквально: «сын Левуна» или «маленький Левун».

В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, где ударение часто падает на суффикс, в украинских фамилиях на -ець ударение может быть подвижным. В фамилии Левунець оно, скорее всего, падает на второй слог: Леву́нець. В документах XIX — начала XX века такую фамилию могли записать по-разному: через «и» (Левунец) или с твёрдым знаком на конце (Левунецъ), что не меняет сути.

Социальный контекст прост: носители фамилии Левунець — это, как правило, потомки крестьян или казаков из центральной или западной Украины. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Фамилия нередкая для Черниговщины, Полтавщины и Киевщины. Если ваш предок носил эту фамилию, он был, скорее всего, православным, а его отца или деда звали Левун — человеком с именем Лев в народном, ласковом варианте.