Фамилия Липашова — женская форма фамилии Липашов, и её ключ к разгадке лежит не в дереве (липа), а в суффиксе -аш-, который сразу выделяет эту фамилию из ряда «растительных» (Липов, Липкин). В русской антропонимии суффикс -аш- (-яш-) часто указывает на прозвище, образованное от глагольной основы или от имени, причём с оттенком действия или свойства. Сравните: Макаш (от «макать»), Ломаш (от «ломать»), Кричаш. Поэтому Липаш — это не «человек, связанный с липой», а скорее прозвище по действию или характеру.

Самая вероятная версия: основа «липать» — диалектный глагол, означавший «льнуть, приставать, назойливо просить». В псковских и тверских говорах «липаться» значило «навязываться, приставать с просьбами». Таким образом, Липаш — человек, который «липнет», навязчивый проситель или, напротив, тот, кто умеет «прилипать» к делу, быть настойчивым. Менее вероятно, но не исключено, что прозвище дали за манеру одеваться: «липать» могло означать «неумело, кое-как шить» (ср. «липач» — плохой портной).

Суффикс -ов в фамилии — стандартный патронимический, указывающий на принадлежность: «сын Липаша». Географически фамилия редкая, встречается точечно, преимущественно в центральных и северо-западных областях России. В дореволюционных переписях носители Липашовы могли быть крестьянами или мещанами, но сословной привязки нет.

Интересно, что однокоренные фамилии (Липатов, Липачев) образованы от других суффиксов и, скорее всего, восходят к имени Липат (производное от Ипполит), а Липашов стоит особняком — его глагольная основа делает фамилию «прозрачной» для диалектолога, но тёмной для обычного носителя. Если ваш предок был Липаш, он, по всей видимости, получил прозвище за упорный, «прилипчивый» нрав или за манеру постоянно о чём-то просить.