Фамилия Логвенок — редкий случай, когда прозвище сохранилось почти в неизменном виде, без типичных фамильных суффиксов. В её основе лежит белорусское или украинское слово «логва» — так в некоторых диалектах называли корыто, лохань, долблёную колоду для корма скота или для стирки. Человек, которого прозвали Логвенком, мог быть бондарем, выделывающим деревянную посуду, либо просто хозяином, у которого во дворе стояла приметная логва. Уменьшительный суффикс -енок (-ёнок) в восточнославянских фамилиях указывает на происхождение по отцу: Логвенок — буквально «сын Логвеня» или «маленький Логвень». Такая модель образования характерна для Беларуси и западных областей России, где фамилии на -ок, -енок особенно распространены.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с личным именем Логвин (производное от Лонгин), где произошла замена конечного звука. Но тогда форма была бы Логвинёнок или Логвинов, а не Логвенок. Звучание именно через «е» в корне — «логв-» — твёрже указывает на старую диалектную лексику, а не на церковное имя.

Географически фамилия Логвенок встречается в основном в Витебской и Могилёвской областях Беларуси, а также в приграничных районах Смоленщины и Брянщины. В писцовых книгах и ревизских сказках XVIII—XIX веков эта фамилия не фиксируется как распространённая дворянская — скорее всего, её носили крестьяне или мещане. В белорусской ономастике фамилии с суффиксом -енок нередко указывали на молодого члена семьи или на человека, который был «меньшим», подручным, и со временем закреплялись как родовые.

Сравните с однокоренными: Логвинов, Логвиненко, Логвин — все они образованы от имени, а Логвенок стоит особняком, сохраняя связь с предметным миром крестьянского быта. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в деревенской среде, где деревянная утварь была настолько привычной, что могла дать прозвище целому роду.