Фамилия Лялягин образована от прозвища Ляляга, а то, в свою очередь, — от слова «ляля». В русских говорах у этого слова несколько значений, и все они связаны с детской речью или болтовней. Самый очевидный вариант: «ляля» — это ребёнок, младенец или кукла (от детского лепета «ля-ля»). Соответственно, Лялягой могли прозвать маленького, невысокого человека или того, кто нянчился с детьми.

Но есть и другая версия, не менее правдоподобная. Глагол «лялякать» в диалектах означал «болтать, пустословить, говорить невнятно». Лялягой называли говорливого человека, пустомелю или того, кто картавил и сюсюкал, как ребёнок. Эта версия хорошо ложится на модель образования: суффикс -аг-/-яг- в русских прозвищах часто указывает на носителя действия или свойства (ср. «бедняга», «растяпа», «гуляка»). Так что Лялягин — это потомок «болтуна» или «сюсюки».

Фамилия не из самых частых, но вполне устойчивая. Встречается в центральных областях России и в Поволжье, что характерно для фамилий, образованных от диалектных прозвищ. По суффиксу -ин ясно, что первоначальная форма — Ляляга (а не Ляляк), то есть прозвище оканчивалось на -а и склонялось по женскому типу, хотя относилось к мужчине (как «Слуга», «Воевода»). Это типичная модель для русских фамилий XVI–XVII веков.

В словаре Б. Унбегауна фамилия не упоминается, но её однокоренные «родственники» — Лялин, Лялькин — хорошо известны. Все они восходят к тем же детским или звукоподражательным корням. Спорных версий здесь немного: попытки связать фамилию с тюркским «ляля» (дядька, воспитатель) маловероятны, так как фамилия зафиксирована именно в русской среде и не имеет тюркских суффиксов. Самое простое и логичное объяснение — прозвище по речи или внешности, данное в быту.