Фамилия Лявуков, скорее всего, образована от прозвища или имени Лявук. В её основе лежит суффикс -ов, который указывает на принадлежность: Лявуков буквально означает «сын Лявука» или «человек из рода Лявука». Такая модель типична для русских фамилий, сложившихся в XVI–XVII веках, когда отчество на -ов закреплялось за потомками.

Самая правдоподобная версия происхождения корня «Лявук» — это уменьшительная форма от имени Лявон (белорусский и украинский вариант имени Леонтий, реже — Лев). В белорусском языке имя Лявон (Леонтий) давало такие производные, как Лявонка, Лявук. Если это так, то фамилия имеет западнорусские (белорусские или украинские) корни и могла возникнуть в среде крестьян или мещан, где были распространены обиходные формы канонических имён.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «лявкать» (лаять, грубо говорить) или «лявк» (звукоподражание лаю). В таком случае Лявуком могли прозвать крикливого, сварливого человека. Однако для фамилий на -ук/-юк (к которым восходит Лявук) более характерна именно патронимическая, а не прозвищная природа, особенно в белорусской традиции. Поэтому версия с именем Лявон выглядит убедительнее.

Географически фамилия тяготеет к западным областям России, Беларуси и востоку Украины. Встречается она нечасто, что типично для фамилий, образованных от локальных вариантов имён. В документах XIX века Лявуковы могли числиться среди государственных крестьян или однодворцев — сословий, где фамилии ещё не были твёрдо закреплены и часто записывались по отцу.