Фамилия Лыман — это фонетический вариант более распространённой фамилии Лиман. Разница в написании объясняется просто: в устной речи безударное «и» часто звучит как «ы», и при оформлении документов эту особенность могли зафиксировать на письме. Так что перед нами один корень, одна история, но разное графическое оформление.

В основе фамилии лежит прозвище Лиман, а оно, в свою очередь, восходит к нарицательному слову «лиман» — «широкое устье реки, впадающей в море; чистое озеро без камыша и зарослей». Так называют любой мелководный залив при впадении реки в море. Поэтому прозвище могли дать не только уроженцу конкретного населённого пункта, но и любому человеку, жившему на берегу лимана.

Среди конкретных географических объектов с таким названием — посёлок Лиман в Астраханской области и водохранилище Лиман в Харьковской области. Вполне вероятно, что родоначальник фамилии родился или долгое время жил в одном из этих мест. Но привязка к топониму необязательна: прозвище Лиман могло закрепиться за человеком просто по месту жительства у воды.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: прозвище (Лиман) → фамилия (Лиман) без добавления суффикса. Такие «чистые» фамилии, совпадающие с прозвищем, нередки в южнорусских и украинских регионах. Вариант Лыман — просто орфографическая запись того же самого прозвища, продиктованная местным произношением.

Таким образом, потомок человека по прозвищу Лиман со временем получил фамилию, которая могла писаться и как Лиман, и как Лыман. Второй вариант — не ошибка, а живое свидетельство того, как звучала речь предков.