Фамилия Любайкина образована от женской формы Любайкина, но её основа — мужское прозвище или имя Любайка. Словообразовательная модель здесь редкая и показательная: суффикс -к- в сочетании с окончанием -ин указывает на принадлежность («чей?» — Любайкина, то есть жена или дочь Любайки). В русских фамилиях -ин типичен для основ на -а/-я, но сама основа Любайка нестандартна: в ней соединились корень люб- (от любить) и суффикс -айк-, который в северных и центральных говорах придавал уменьшительно-ласкательный или пренебрежительный оттенок. Сравните с фамилиями Гуляйкин, Прощайкин — все они строятся по одной модели: от глагольной основы с суффиксом -айк-.

Что означало исходное прозвище Любайка? Скорее всего, так называли человека, который часто выражал любовь, ласку или был особенно привязан к кому-то — к детям, к жене, к родителям. В народной среде прозвища на -айка нередко давали по поведению: «любайка» мог быть тем, кто «любит» (в смысле — обнимает, целует, жалеет) или, наоборот, кого все любят. Есть и другая версия: Любайка — это производное от канонического имени Любим (редкое нецерковное имя, означавшее «любимый»). В таком случае суффикс -айк- превращал имя в обиходную форму, как Ванька от Иван, но с другим оттенком. Обе гипотезы правдоподобны, но первая — с прямым прозвищем по черте характера — встречается в ономастике чаще.

Географически фамилия Любайкина редкая и тяготеет к Поволжью и северо-западным областям России. В старых переписях XVII–XVIII веков такие формы фиксировались в крестьянской среде: прозвища на -айка были типичны для бытового общения, а не для официальных документов, поэтому фамилия могла закрепиться поздно, уже в XIX веке, при переходе к обязательным фамилиям. Интересная деталь: в некоторых говорах слово «любайка» имело ироничный оттенок — так могли назвать человека, который «любит» всех подряд, то есть чрезмерно общительного или неразборчивого в привязанностях. Но это лишь местный нюанс, не отменяющий основного значения.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Любимов, Любавский, Любавин) показывает, что Любайкина стоит особняком: она не от церковного имени и не от топонима, а от живого прозвища, которое почти не встречается в письменных источниках. Это делает фамилию ценной для историка языка — она сохранила архаичную словообразовательную модель, вытесненную позже более стандартными суффиксами. Если вы носите фамилию Любайкина, ваши предки, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми из северных или волжских губерний, а их прозвище отражало не ремесло, а личное качество — привязанность, нежность или, в шутку, чрезмерную любвеобильность.