Фамилия Лютков — это отчество второго порядка, то есть «внук Лютого». Строится она по цепочке: прозвище Лютый → его сын Лютко (уменьшительно-ласкательная форма) → их потомок Лютков. Такой способ образования (суффикс -ов) типичен для русских фамилий: он указывает на принадлежность к роду конкретного человека.

Основа фамилии — прилагательное «лютый». В древнерусском языке это слово имело широкий спектр значений: свирепый, зверский, кровожадный, неукротимый, жестокий, а также злой и невыносимый. Однако в старину Лютым называли не только человека с тяжёлым нравом. Это прозвище давали и ярым приверженцам каких-либо взглядов — например, ревностному стороннику веры или убеждённому спорщику.

Есть и другая, бытовая версия происхождения. «Лютым» на Руси называли февраль — самый холодный и суровый месяц. Поэтому прозвище Лютый могли дать ребёнку, родившемуся в феврале. Такая практика — называть по месяцу рождения — встречается и в других фамилиях, например, Мартов или Декабрёв.

Первые письменные упоминания прозвища относятся ко второй половине XV века. В «Ономастиконе» академика С. Б. Веселовского зафиксирован крестьянин Лютый, живший в 1495 году в Новгородских землях. Это одно из ранних свидетельств того, что прозвище бытовало в простонародной среде задолго до закрепления фамилий.

Сама фамилия Лютков — не единственная в этом ряду. Однокоренные Лютов, Лютин, Лютый, Лютовский образованы от той же основы, но по разным словообразовательным моделям. Лютков выделяется суффиксом -к-, который превращает исходное прозвище в уменьшительное Лютко, а затем в фамилию. Такая модель чаще встречалась в северных и центральных регионах России, где были распространены формы имён на -ко.