Фамилия Мечтов — редкий случай, когда русская фамилия образована не от имени, профессии или внешности, а от абстрактного понятия. В основе лежит слово «мечта». Такие фамилии называют «идеологическими» или «отвлечёнными»: они появились в среде духовенства, где при выборе фамилии для семинариста руководствовались не бытовыми прозвищами, а высокими понятиями — Вера, Надежда, Любовь, а также Милосердов, Благовещенский, Мечтов.

Суффикс -ов указывает на стандартную русскую модель образования от существительного: Мечтов буквально значит «сын Мечты» или «относящийся к мечте». В крестьянской или купеческой среде такую фамилию вряд ли дали бы — она слишком отвлечённая, не связана с конкретным ремеслом или уличным прозвищем. Поэтому самый вероятный источник — семинария. Выпускник духовного училища, получивший фамилию Мечтов, мог быть сыном священника или выходцем из церковной среды, где фамилии часто придумывали искусственно, по торжественным или назидательным словам.

Иногда фамилию Мечтов путают с однокоренной Мечталов (от глагола «мечтать» с суффиксом -ал-), но это разные модели. Мечтов — более книжная, статичная форма, без оттенка действия. Встречается она крайне редко, в основном в центральных губерниях России и, по косвенным данным, была распространена среди приходского духовенства XIX века. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они имели отношение к церкви или получили фамилию при поступлении в семинарию.