Фамилия Михйлюк — один из тех случаев, когда ошибка в написании или неразборчивый почерк писаря могут скрыть истинную природу слова. Если вы встретили именно такой вариант, с буквой «й» после «х», то перед нами, скорее всего, искажённая запись фамилии, образованной от крестильного имени Михаил. В украинской и белорусской традиции форма Михайлюк (от «Михайло») — одна из самых распространённых. Суффикс -юк указывает на «малого» или «потомка»: Михайлюк — сын или ученик Михаила. Буква «й» здесь закономерна: «Михайло» даёт «Михайлович», «Михайлюк». Ваш же вариант «Михйлюк» — это либо опечатка в документе, либо редчайший случай диалектного произношения, где гласный между «х» и «й» выпал. Правдоподобнее первое: писарь пропустил букву «а».

Если же отбросить версию с ошибкой и предположить, что написание «Михйлюк» исконное, то придётся искать основу в прозвище. Корень «Мих-» мог относиться к глаголу «михать» (в некоторых говорах — «мямлить», «говорить невнятно», или «шататься», «бродить без дела»). Тогда суффикс -юк добавил бы значение «сын того, кто михает». Но эта версия слабая: фамилий на -юк от глагольных основ в украинской ономастике единицы, и все они хорошо задокументированы (например, Ткачук — от «ткач»). «Михйлюк» без внятного прозвищного корня в эту группу не вписывается.

Географически фамилия с таким написанием — большая редкость. Единичные носители встречаются на западе Украины (Волынь, Ровенщина) и в приграничных районах Беларуси. Именно там, в зоне смешения украинских и белорусских говоров, возможна путаница с редукцией гласных: «Михайлюк» могли произносить как «Мих’йлюк», а на письме фиксировать без «а». Получается, что ваш вариант — не столько самостоятельная фамилия, сколько фонетический или канцелярский «дубль» более массовой Михайлюк.

Социальный состав носителей, скорее всего, был крестьянским: фамилии на -ук/-юк в основном принадлежали сельским жителям Правобережной Украины и не давали привилегий. Дворянских родов с таким окончанием практически нет. Так что предки ваши, если отбросить версию с ошибкой, могли быть крестьянами, чью фамилию записал неграмотный или торопливый чиновник.