Фамилия Мишейкис звучит непривычно для носителя русского языка — и это главная подсказка. Перед нами не исконно русская фамилия, а литовская или, точнее, восточнобалтийская, с типичным суффиксом -ис. В литовском языке окончание -is — один из главных маркеров мужской фамилии в именительном падеже, как в фамилиях Будрис, Садаускас, Каваляускас. Ударение в таких фамилиях обычно падает на первый слог: Ми́шейкис.

Основа фамилии — Мишейка. Это уменьшительно-ласкательная форма от имени Миша, то есть Михаил. В литовской антропонимике такие «русифицированные» уменьшительные имена с суффиксом -ейка (-ейк-) не редкость: взять хотя бы фамилии Юргейка (от Юргис — Георгий) или Петрейка (от Пятрас — Пётр). Но в случае с Мишейкисом основа, скорее всего, заимствована напрямую из русской разговорной традиции, где Мишейка — это просторечный вариант Миши. Таким образом, фамилия образована по схеме: личное имя (Михаил → Миша → Мишейка) + патронимический суффикс, указывающий на принадлежность, + окончание -is. Буквально Мишейкис — это «сын Мишейки» или «тот, кто относится к Мишейке».

Географически фамилия тяготеет к северо-западу: её носители исторически жили на территории бывшей Виленской губернии, в современной Литве, а также в приграничных районах Беларуси и Латвии. В Россию фамилия попала, вероятно, в советское время — с миграцией из Прибалтики. Встречается она нечасто, и это объяснимо: литовские фамилии с суффиксом -ейкис не так широко распространены, как, скажем, польские на -ский или русские на -ов.

Интересная деталь: в русских документах XIX — начала XX века фамилию могли записывать иначе — Мишейко. Это женский вариант (в литовской традиции женские фамилии часто оканчиваются на -е) или просто русифицированная форма без окончания -ис. Если ваш предок значился в метриках как Мишейко, а потом стал Мишейкис — это нормальная эволюция написания при переходе из одной языковой среды в другую.

Никакой тайны или сложного прозвища за фамилией не стоит. Всё прозрачно: человек, которого в семье или в деревне называли Мишейка (ласково от Михаил), дал начало роду с фамилией Мишейкис.