Фамилия Мордошов — одна из тех, где основа спорит с суффиксом. Если бы её писали как Мордашов, вопросов бы не было: от прозвища Мордаш (человек с заметным, крупным лицом) через суффикс -ов. Но в реальном варианте — Мордошов — появляется сомнение: это описка, диалектное произношение или другая модель?

Словообразовательно фамилия прозрачна: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), а корень — мордош-. Вот с ним и сложности. Самое прямое объяснение — это вариант прозвища Мордаш, где гласный «а» под влиянием акающих говоров (а таких в России большинство) перешёл в «о» на письме, когда писарь записывал фамилию на слух. В северных и центральных регионах, где окают, такого бы не случилось, но в южнорусских и среднерусских говорах безударное «а» произносится как «о» — и наоборот, «о» могут писать как «а». Так что Мордошов мог возникнуть как обратная гиперкоррекция: носителя звали Мордаш, а записали «правильно» — Мордошов.

Есть и менее вероятная, но возможная версия: от слова «мордош» — так в некоторых диалектах называли морду, рыло животного, или даже небольшой мешок (ср. «морда» в значении «сеть для ловли рыбы»). В этом случае прозвище могло относиться к рыболову или к человеку с некрасивым, грубым лицом. Но подтверждений такой лексеме в словарях мало, и версия с Мордашом проще и правдоподобнее.

Социально фамилия скорее крестьянская или посадская. Мордошовы в дореволюционных записях встречаются редко, и география их рассеяна: отдельные семьи фиксируются в бывших Тамбовской, Рязанской и Воронежской губерниях — как раз в зоне акающих говоров. Это косвенно подтверждает версию о записи на слух.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Мордашов, Мордов, Мордынкин — показывает, что Мордошов стоит особняком: он не попал в распространённые ономастические справочники (например, у Унбегауна или Веселовского), что говорит о его локальном и, возможно, позднем оформлении. Фамилия могла закрепиться в одном селе или волости, а потом разойтись с переселенцами.

Итог: скорее всего, ваш предок носил прозвище Мордаш, а фамилию ему записали с «о» в корне по диалектной привычке. Прямого значения «мордош» в литературном русском нет, и искать его не стоит — проще смотреть в сторону внешности или ремесла, связанного с «мордой» (сеть, рыболовство).