Фамилия Морогаи — редкая и нестандартная для русского уха. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, которые обычно превращают прозвище в фамилию. Это указывает на то, что перед нами, скорее всего, не исконно русская, а заимствованная фамилия, которая сохранила свою первоначальную форму без русификации.

Самый вероятный источник — итальянская фамилия Morogai или её варианты. В Италии фамилии с окончанием на -ai характерны для северных регионов, особенно Венето и Фриули-Венеция-Джулия. В основе может лежать топоним — название местечка или диалектное прозвище. Если разложить на составляющие, «Moro» в итальянском может означать «мавр» (темнокожий, смуглый человек) или быть частью сложного слова, а «gai» — производное от «gaio» (весёлый, яркий). Таким образом, Морогаи могло быть прозвищем «весёлого мавра» или человека со смуглой кожей и жизнерадостным нравом.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — венгерское или румынское происхождение. В этих языках фамилии на -ai часто указывают на принадлежность к местности (суффикс принадлежности). «Morog» мог быть искажённым названием деревни или реки. Венгерские фамилии такого типа (например, Молнар, Хорват) обычно оканчиваются на согласный, но в диалектах встречаются и редкие формы с гласным окончанием.

В России фамилия Морогаи могла появиться через браки, эмиграцию или через обрусевших иностранцев на службе (например, итальянских архитекторов или художников, работавших в XVIII–XIX веках). Поскольку фамилия не склоняется по падежам (как и многие заимствованные на -и, -у, -о), носителям стоит помнить: правильно говорить «у Морогаи», «с Морогаи», а не «Морогая» или «Морогаевым». Это ещё одно подтверждение её нерусской основы.