Фамилия Морогай — редкая и неочевидная по происхождению. Если вы её носитель, скорее всего, ваши предки жили на западе или юго-западе России, в Беларуси или на Украине. Именно там встречаются фамилии с похожей структурой — с суффиксом -ай, который часто указывает на прозвищное происхождение.

Разберём словообразовательную модель. Основа «Морог-» плюс суффикс -ай. В русских фамилиях суффикс -ай характерен для прозвищ, образованных от глаголов (например, Дергай, Ломай, Кричай). Морогай могло означать человека, который «морогает» — то есть делает что-то медленно, мешкает, или же, напротив, совершает резкие, неожиданные движения. В диалектах русского языка и в белорусском слово «моргать» известно, но форма «морогать» (с чередованием г/ж) встречается реже, что делает фамилию более локальной.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с литовским или балтским корнем. На территории современной Беларуси и приграничных областей России фамилии с окончанием -ай нередко имеют балтские следы. Сравните с литовским «margas» — пёстрый, разноцветный. В таком случае Морогай могло быть прозвищем пёстрого, рябого человека или того, кто носил пёструю одежду. Однако эта гипотеза слабее: для фамилий на -ай балтское происхождение типично для окончания -айс (как Янкай, Мажай), а не для формы на -ай без суффикса -с.

Что касается географии: по данным современных телефонных справочников и архивных записей, фамилия Морогай встречается в Брянской, Смоленской областях и в Могилёвской области Беларуси. Это зона активных контактов восточнославянских и балтских языков, что подтверждает первую версию — прозвище от глагола. Социальный контекст: скорее всего, предки были крестьянами или ремесленниками, так как прозвищные фамилии в этой местности закрепились за крестьянскими родами в XVII–XIX веках.

Итог: Морогай — прозвищная фамилия, образованная от глагола «морогать» (медлить, делать неспешно) с помощью суффикса -ай. Носители — выходцы из западнорусских и белорусских земель.