Фамилия Мозякова — женская форма, а мужская, Мозяков, образована по типичной восточнославянской модели: к основе прозвища или имени прибавили суффикс принадлежности -ов. Вопрос в том, что легло в основу.

Самая прямая версия отсылает к диалектному слову «мозяк». В северных и сибирских говорах так называли человека медлительного, вялого, «мозглого» — от глагола «мозгнуть» (мокнуть, преть). Прозвище Мозяк мог получить неторопливый или болезненный человек. Связь с «мозгом» здесь вторична: исходное значение — что-то размякшее, влажное, а не умственные способности.

Другая версия — усечённая форма крестильного имени. В старину полные имена в быту сокращали: Мозей (от Амвросий или Мозей — библейское Моисей) легко превращалось в Мозя. Суффикс -як как раз типичен для таких уменьшительных форм (ср. Костяк от Константин, Петряк от Пётр). Тогда Мозяков — буквально «сын Мози».

Географически фамилия тяготеет к северу и северо-востоку России: Вологодская, Архангельская области, Удмуртия, Кировская область. В этих краях слово «мозяк» в значении «мокрый, хилый» фиксировали диалектологи. Встречается и у казаков, но реже — там больше распространён вариант Мозжаков (от «мозжать» — ныть, капризничать).

Спорный момент — возможная связь с коми-пермяцким языком, где «мозя» значит «медведь». Но фамилия Мозяков не характерна для финно-угорских регионов в качестве заимствованной: у коми фамилии обычно оформляются суффиксом -ев (Мозяев). Поэтому версия с медведем — скорее народная этимология, чем научная.

Итог: скорее всего, ваш предок был либо медлительным человеком (прозвище), либо Мозей в обиходе (имя). Фамилия редкая, недворянская — типичная крестьянская или посадская, записанная по отцу.