Фамилия Мышляковаа — крайне редкий и, на первый взгляд, ошибочный вариант написания. Скорее всего, перед нами опечатка или искажение при передаче фамилии в документах. В русском языке двойная «а» на конце фамилии нетипична: стандартные женские формы оканчиваются на -а (Мышлякова), а мужские — на согласный (Мышляков). Если же двойное «а» возникло не случайно, это может указывать на искусственное удвоение при заимствовании или на попытку передать необычное ударение. Но в подавляющем большинстве случаев верная форма — Мышляков или Мышлякова.

Разберём правильную основу — Мышляков. Фамилия образована от прозвища или нецерковного имени Мышляк. Суффикс -як (как в Смеляк, Добряк) в русских фамилиях указывает на носителя качества: Мышляк — это человек, связанный с мышью. Но не путайте с современным значением «мышь»: в старину прозвище Мышь или Мышка давали не только за маленький рост или тихий нрав, но и за сноровку, умение пробираться незаметно, хозяйственность. А суффикс -як добавлял оттенок просторечной ласки или, наоборот, насмешки: Мышляк — что-то вроде «мышонок» или «мышиный человек».

По другой версии, менее вероятной, основа могла быть связана с диалектным глаголом «мышлять» — в некоторых говорах это означало «замышлять», «хитрить», «обдумывать». Тогда Мышляк — прозвище для осторожного, расчётливого человека, который всё делает с оглядкой. Но эта версия уступает первой: фамилии от названий животных в русской ономастике встречаются гораздо чаще.

Фамилия Мышляков — сравнительно редкая, но встречается в центральных областях России (Тверская, Ярославская, Московская губернии). В старых переписных книгах XVII–XVIII веков можно найти крестьян и посадских людей с таким прозвищем. Социальный состав носителей — в основном крестьянство и мещанство, реже — духовенство (где прозвища тоже бытовали, но чаще давали семинарские фамилии на -ский).

Итак, если вы встретили написание «Мышляковаа», скорее всего, это ошибка. Правильная фамилия — Мышляков (для мужчины) или Мышлякова (для женщины). А её корень — либо прозвище от «мышь» (ловкий, незаметный, хозяйственный человек), либо, реже, от «мышлять» (хитрец, задумчивый).