Фамилия Нагер — редкий случай, когда основа не поддаётся однозначной славянской этимологии, и это делает её особенно интересной. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев или -ин, она не имеет типичного патронимического суффикса и не указывает напрямую на отца или занятие. Её форма — чистая основа, без изменений, что наводит на мысль о позднем происхождении или о заимствовании.

Самый вероятный путь — немецкое или еврейское (ашкеназское) происхождение. В немецком языке «Nager» (произносится «на́гер») означает «грызун». Это могло быть прозвище — не обязательно обидное, а скорее характеризующее человека по поведению, например, суетливого, беспокойного или того, кто любит «грызть» работу. В среде немецких колонистов, которые массово переселялись в Российскую империю в XVIII–XIX веках, такие прозвищные фамилии были обычным делом. Второй вариант — от немецкого топонима Nage (Наге) с добавлением суффикса -er, указывающего на выходца оттуда.

Есть и другая, более редкая версия — связь с тюркскими языками. В некоторых тюркских наречиях «нагр» или «нагар» может означать «свет», «сияние» или относиться к понятию «награда». Но эта гипотеза слабее: во-первых, в тюркских фамилиях обычно сохраняются родовые окончания (-ов, -лы), а во-вторых, форма «Нагер» без изменений характерна именно для немецкой модели записи фамилий в метрических книгах.

Обратите внимание на написание. Если фамилия пишется через «е» (Нагер), а не через «а» (Нагар), это дополнительный аргумент в пользу немецкого корня: в немецком языке буква «a» в открытом слоге читалась бы долго, а «e» даёт именно звук «э». В России фамилия могла быть записана на слух переселенцами или чиновниками, поэтому встречаются варианты «Наггер» (с удвоенной согласной, что тоже по-немецки) или «Ногер».

Сословно носители фамилии Нагер, скорее всего, были не дворянами, а мещанами, ремесленниками или крестьянами из числа немецких колонистов, осевших в Поволжье, на юге Украины или в Прибалтике. В польской ономастике встречается фамилия Nager с тем же значением, но там она могла возникнуть независимо.

В итоге: фамилия Нагер — это не «испорченное» русское слово, а скорее всего, немецкое прозвище, закреплённое в документах. Её носители — потомки людей, которых в XVIII–XIX веках называли «грызуном» за характер или за работой, либо выходцев из местечка с похожим названием.