Фамилия Натаровский — довольно редкая, и её разбор упирается в первую очередь в суффикс. Окончание -ский указывает на польское или западнорусское происхождение: такие фамилии в шляхетской среде образовывались от названий местности. В русском языке суффикс -ский чаще давали духовенству или переселенцам из Речи Посполитой. Основа «Натар-» здесь ключевая.

Самый прямой путь — географический. В Польше есть несколько мест с корнем «Натар»: деревни Наталин, Натанув, а также Натаров (Natarów) — хутор в Люблинском воеводстве. Фамилия Натаровский могла означать «тот, кто из Натарова» или «владелец поместья Натаров». В этом случае она — типичный пример шляхетской фамилии, где человек брал имя по своему имению.

Второй вариант — прозвищный, но менее вероятный. В южнорусских и украинских говорах слово «натара» или «натар» могло означать назойливого, надоедливого человека (от глагола «натараторить» — говорить без умолку). Если фамилия образована от такого прозвища, то суффикс -ский здесь вторичный, приставленный к основе по аналогии с другими фамилиями. Однако эта версия слабее: прозвища с -ский в народной среде встречаются реже, чем в дворянской.

Иногда фамилию пытаются связать с тюркским «натар» (нечто вроде «золото» или «драгоценность»), но для этого нет ни исторических, ни фонетических оснований — тюркские корни обычно дают фамилии на -ов/-ев, а не на -ский.

Социальный контекст: если ваши предки — Натаровские, скорее всего, они были либо мелкими дворянами (шляхтой) из западных губерний Российской империи, либо выходцами из Польши. Встречаемость фамилии очень низкая, что говорит о локальном происхождении — возможно, от одного конкретного рода, владевшего землёй в одном месте. Церковные записи и метрики по этой фамилии стоит искать в Волынской, Гродненской или Люблинской губерниях.