Фамилия Навроцькый — редкий случай, когда написание сразу выдаёт регион и эпоху. Окончание «-ый» вместо привычного «-ий» (Навроцкий) — это не ошибка, а историческая особенность. Такая форма характерна для старой польской орфографии XIX — начала XX века, а также для украинской передачи фамилий через «ы». Перед нами, скорее всего, выходец с территории бывшей Речи Посполитой, где фамилию записывали латиницей как Nawrocki, а затем перевели на кириллицу с сохранением твёрдого «ы».

Основа фамилии — топоним Наврот (или Наврота). В Польше и на западе Украины есть несколько сёл с названием Наврот, Наврота, Навротичи. Фамилии на «-ский» в этой среде обычно указывали на владельческий или шляхетский статус: «тот, кто из Наврота». Однако массово такие фамилии давали и крестьянам, переселившимся из одного села в другое. Суффикс «-цьк-» — это украинско-польский вариант общеславянского «-цк-», который в русском языке превратился бы в «-цк-» (Навроцкий). Форма «Навроцькый» как раз фиксирует украинское смягчение «ц» перед «ь», что редко встречается в русских документах.

Сам корень «наврот» спорен. Самая вероятная версия — от польского «nawrócić» (повернуть, обратить). В старопольском «nawrót» означало «поворот дороги», «излучина реки» или «возвращение». Прозвище Наврот могли дать человеку, который жил у поворота реки или на развилке дорог, либо тому, кто вернулся из долгого отсутствия — «возвращенец». Менее убедительна версия о связи с литовским «naurotas» (новый рой) — в ономастике такие микротопонимы редки.

Социальный состав носителей фамилии Навроцькый был пёстрым. В метриках XIX века встречаются и православные священники, и крестьяне-униаты, и мелкая шляхта. Твёрдое «ы» в окончании часто появлялось в документах Волынской, Подольской и Киевской губерний, где местные писцы копировали польское произношение. Если ваши предки писались именно так, то с высокой вероятностью они жили на Правобережной Украине или в Беларуси, где до 1917 года сохранялось польское влияние на делопроизводство.

Сравните с однокоренными фамилиями: Навроцкий (русская адаптация), Наврота (бесприставочная форма), Навратил (чешский вариант). Фамилия Навроцькый стоит особняком — она как архивный штамп, сохранивший живую речь канцеляриста, который не стал «обрусать» окончание.