Фамилия Назейкин — редкий пример, где суффикс -ин цепляется к основе, которую не сразу прочитаешь правильно. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Назе́йкин. Модель образования стандартная для русских фамилий: от прозвища или имени, оканчивающегося на -а/-я, добавляли -ин (ср. Пушкин, Ильин). Основа здесь — Назейка, что бы это ни значило.

Самая прямая версия — прозвище Назейка от глагола «назирать» (наблюдать, надзирать). В старых говорах «назей» или «назея» — это надзиратель, дозорный, иногда просто зевака, глазеющий по сторонам. В таком случае предок мог получить фамилию по должности или по привычке. В словаре Даля есть слово «назиратель» — церковный староста или смотритель, но в народной речи оно легко сокращалось до «назей». Плюс этой версии — она опирается на живую словообразовательную модель: от глагола «назирать» легко получается «назейка» (человек, который назирает), а от неё — Назейкин.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским именем Нази (Назир) через уменьшительную форму Назейка. «Назир» в арабском — «предостерегающий», «надзирающий», в тюркских языках это имя встречается. Но для фамилии с суффиксом -ин, которая обычно образуется от русских прозвищ, тюркское происхождение менее типично. Скорее всего, перед нами именно русская фамилия от прозвища, а не искажённое татарское имя.

Интересно, что в современных базах данных фамилия Назейкин встречается крайне редко — буквально единичные носители, в основном в центральной России и Поволжье. Это говорит о том, что фамилия не получила широкого распространения и, возможно, сохранилась в одной или двух ветвях рода. Никаких известных исторических личностей с этой фамилией не зафиксировано, что для редкой фамилии нормально.

Итог: ваш предок, скорее всего, был надзирателем, сторожем или просто человеком с прозвищем Назейка. Фамилия — чисто русская, образована в XV–XVII веках, когда прозвища активно превращались в наследственные. Других убедительных объяснений у неё нет.