Фамилия Недобежков — редкий случай, когда прозвище буквально «законсервировалось» в фамильной форме с отрицанием и остатками древнего глагольного управления. Она образована от прозвища Недобежко, которое, в свою очередь, возникло из устойчивого оборота «не добежал» или «не добег». Речь идёт о человеке, который не успел куда-то добежать: либо опоздал, либо остановился на полпути, либо физически не мог бежать быстро. В русских говорах глагол «добежать» имел и переносное значение — «достичь цели», «успеть», так что прозвище могло закрепиться за медлительным, нерасторопным или просто неудачливым человеком.

Модель образования здесь нестандартная. Суффикс -к- в основе Недобежк- типичен для украинской и южнорусской традиции создания прозвищ (сравните Неходько, Непийко), а затем фамилия получила «великорусский» суффикс -ов, указывающий на принадлежность: «сын Недобежка». То есть перед нами гибридная форма: южнорусское или украинское прозвище, русифицированное при переходе в фамилию.

Фамилия почти не встречается в центральных областях России. Основной ареал — юг России и восток Украины, где были распространены фамилии с отрицанием (Нестеров, Некрасов, Неустроев). В отличие от них, Недобежков сохранил более прозрачную глагольную основу и не превратился в абстрактное имя. По сути, это «живая» характеристика предка: его прозвали по конкретному случаю или свойству, и это слово не успело стереться до неузнаваемости.

В дореволюционных переписях фамилия встречается исключительно в крестьянской среде. Никаких дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано: прозвище слишком бытовое и нелестное, чтобы его взяли себе помещики. Скорее всего, первый Недобежков — крепостной или вольный хлебопашец, получивший уличное прозвище за свою неспешность или неловкость.

С точки зрения лингвистики интересно чередование в корне: беж- вместо бег-. Это следствие древнего чередования г/ж (бег — бежать), которое в прозвище закрепилось именно в форме с ж, а не с г. Если бы фамилия писалась как Недобегков, она звучала бы архаичнее, но в реальности победила разговорная, «живая» форма.